Posted by: algo64 | 2010/07/04

วิธีการคิดฟังก์ชันอนุกรม

    พอดีผมติดปัญหาเรื่องการหาฟังก์ชันอนุกรม และวันนี้ได้เรียน Computer Algorithm จึงได้ถามอาจารย์เกี่ยวกับวิธีคิดหาฟังก์ชันอนุกรม และก็ได้คำตอบที่เข้าใจและพอเป็นแนวทางในการหาคำตอบของอนุกรมชนิดอื่นๆ อีก เช่น

กำหนดให้ อนุกรม a_n = \sum _{i=1}^n i

เราจะได้คำตอบ ณ n ใดๆ ว่า

a_1 = 1

a_2 = 1 + 2

a_3 = 1 + 2 + 3

a_{n-1} = 1 + 2 + 3  + \dots + (n-1)

a_n = 1 + 2 + 3 + \dots + (n-1) + n

แต่สมการทั่วไปที่เราได้เรียนมาคือ a_n = \frac{n(n+1)}{2}

ทำไมถึงได้เช่นนั้น??

ตัวอย่างที่ 1 นี้ ผมจะใช้ตัวอย่างของอาจารย์มาอธิบายนะครับ
โจทย์กำหนดอนุกรม \sum _{i=1}^{n} \frac{1}{2^{i-1}}
ดังนั้น จะได้ว่า

a_1 = \frac{1}{2^0}

a_2 = \frac{1}{2^0} + \frac{1}{2^1}

a_3 = \frac{1}{2^0} + \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2}

a_n = \frac{1}{2^0} + \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^{n-2}} + \frac{1}{2^{n-1}}

วิธีหาสมการทั่วไป เราก็กำหนดตัวแปรขึ้นมา แล้วทำการเปรียบเทียบกันเพื่อหาอัตราการเติบโตของอนุกรม จะได้ว่า

ให้ A = a_n =  \frac{1}{2^0} + \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^{n-2}} + \frac{1}{2^{n-1}}

ดังนั้น
2A  = \frac{2}{2^0} + \frac{2}{2^1} + \frac{2}{2^2} + \dots + \frac{2}{2^{n-2}}
2A = 2 + \frac{1}{2^0} + \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^{n-2}}

ทีนี้เราต้องหาวิธีนำสมการของ A มาแทนที่ใน 2A ให้ได้ โดยปรับพจน์ต่างๆ ให้เหมือนกัน
ในที่นี้เราจะบวกและลบค่าของ \frac{1}{2^{n-1}} และเราจะได้สมการใหม่เป็น
2A = 2 + \frac{1}{2^0} + \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^{n-2}} + (\frac{1}{2^{n-1}} - \frac{1}{2^{n-1}})
เมื่อแทนที่สมการของ A จะได้ว่า
2A = 2 + A - (\frac{1}{2^{n-1}})
จะได้ว่า A = 2 - (\frac{1}{2^{n-1}})
เนื่องจาก A = a_n

ดังนั้นรูปสมการทั่วไปของ \sum _{i=1}^{n} \frac{1}{2^{i-1}} คือ 2 - (\frac{1}{2^{n-1}})


ผมมีสมการง่ายๆ ที่คิดในลักษณะเดียวกันกับตัวอย่างด้านบน ลองหาวิธีดูว่าทำไมเค้าถึงได้รูปสมการแบบนั้น

\sum _{i=0}^N 2^i = 2^{N+1} - 1

ลองๆๆ คิดกันดูนะ ^^


Responses

  1. คุณจะเทพไปไหนคุณโตโร่


Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Categories

%d bloggers like this: